Y a-t-il une solution ? - Corrigé

Énoncé

Parmi les équations suivantes où \((x;y) \in \mathbb{Z}^2\) , quelles sont celles qui admettent des solutions ? Justifier.

1.  \(-3x+5y=6\)

2.  \(4x+12y=88\)

3.  \(51x-57y=22\)

4.  \(14x+91y=35\)

Solution

1.  \(\mathrm{PGCD}(-3;5)=\mathrm{PGCD}(3;5)=1\) , et  \(1\) divise \(6\) , donc l'équation admet au moins une solution dans \(\mathbb{Z}^2\) .

2. \(\mathrm{PGCD}(4;12)=4\) , et  \(4\) divise \(88\) , donc l'équation admet au moins une solution dans \(\mathbb{Z}^2\) .

3. \(\mathrm{PGCD}(51;-57)=\mathrm{PGCD}(51;57)=3\) , et  \(3\) ne divise pas \(22\) , donc l'équation n'admet pas de solution dans \(\mathbb{Z}^2\) .

4. \(\mathrm{PGCD}(14;91)=7\) , et  \(7\) divise \(35\) , donc l'équation admet au moins une solution dans \(\mathbb{Z}^2\) .